Câu 10THPTChuyên đề: Tối ưu thực tế bằng đạo hàm • Lớp 12Phân tích vectơ và chứng minh đẳng thứcVận dụng#secondary:M10.G02.VECTOR_PLANE.L3.DECOMPOSITION#curriculum:undetermined
Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây đều bằng (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi là độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây. Khi đó là một hàm số với biến số . Xác định hàm số và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.
Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây đều bằng (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi là độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây. Khi đó là một hàm số với biến số . Xác định hàm số và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
Gọi lần lượt là các điểm sao cho . Khi đó hai vecto cùng hướng, do đó tồn tại số sao cho , tương tự .
Suy ra . (1)
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên . Gọi I là tâm chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó suy ra .
Theo giả thiết trọng lượng của chiếc đèn là 27N, do đó .
Ta có (điều kiện: ). Suy ra .
Thay vào (1) ta có (N).
Ta có .
BBT:
Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng 9,75 N, ta có: (thỏa mãn điều kiện ).
Dựa vào BBT ở trên ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là 9,75 N là 13 dm.
Suy ra . (1)
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên . Gọi I là tâm chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó suy ra .
Theo giả thiết trọng lượng của chiếc đèn là 27N, do đó .
Ta có (điều kiện: ). Suy ra .
Thay vào (1) ta có (N).
Ta có .
BBT:
| 5 | ||
Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng 9,75 N, ta có: (thỏa mãn điều kiện ).
Dựa vào BBT ở trên ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là 9,75 N là 13 dm.
