Một chất điểm $A$ chuyển động trên trục $Ox$, với vận tốc $v(t)=-2t+3$ (m/s), trong đó thời điểm $t=0$ (giây) tính từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động và khi đó chất điểm ở tại gốc tọa độ. Tại thời điểm $t=0$, tại gốc tọa độ một chất điểm $B$ khác $A$ chuyển động trên trục $Ox$ với vận tốc $v_1(t)=3^t\ln 3$ (m/s). Sau khoảng thời gian bao lâu thì hai chất điểm gặp nhau lần thứ hai (thời điểm $t=0$ được xem là thời điểm hai chất điểm gặp nhau lần thứ nhất)?

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí là nguyên hàm của vận tốc với $x(0)=0$.
Chất điểm A: $x_A(t)={\int }_0^t(-2s+3)ds=-t^2+3t$.
Chất điểm B: $x_B(t)={\int }_0^t{3}^s\ln 3ds=3^t-1$.
Hai chất điểm gặp nhau khi $x_A(t)=x_B(t)$, tức $-t^2+3t=3^t-1$. Đặt $f(t)=-t^2+3t-3^t+1$ trên $[0;+\infty )$; ta có $f(0)=0$ (gặp lần thứ nhất) và $f(1)=-1+3-3+1=0$, nên $t=1$ là ứng viên cho lần gặp thứ hai.
Chứng minh không có nghiệm khác: $f^{\prime }(t)=-2t+3-3^t\ln 3$ và $f^{\prime \prime }(t)=-2-3^t(\ln 3{)}^2<0$ với mọi $t\ge 0$, nên $f^{\prime }$ nghịch biến trên $[0;+\infty )$. Vì $f^{\prime }(0)=3-\ln 3>0$ và $f^{\prime }(1)=1-3\ln 3<0$, $f^{\prime }$ có đúng một nghiệm $t_0\in (0;1)$. Do đó $f$ đồng biến trên $(0;t_0)$ và nghịch biến trên $(t_0;+\infty )$.
- Với $t\in (0;t_0]$: $f$ đồng biến, $f(0)=0$ nên $f(t)>0$.
- Với $t\in [t_0;1)$: $f$ nghịch biến, $f(1)=0$ nên $f(t)>0$ (ví dụ $f(0,5)=-0,25+1,5-\sqrt{3}+1\approx 0,518>0$).
- Với $t>1$: $f$ nghịch biến và $f(1)=0$ nên $f(t)<0$.
Vậy trên $[0;+\infty )$, phương trình $f(t)=0$ có đúng hai nghiệm $t=0$ và $t=1$: hai chất điểm gặp nhau đúng hai lần. Kết luận: hai chất điểm gặp nhau lần thứ hai sau $1$ giây.