Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+3x-9}{x-2}$. Tìm tọa độ của điểm $M$ nằm trên trục hoành sao cho chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất.

TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.
Tính được tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là $A(1;5),B(3;9)$.
Nhận xét $A,B$ nằm về cùng phía so với trục hoành. Gọi $B_1$ đối xứng với B qua trục hoành, khi đó $B_1(3;-9)$.
Khi đó chu vi tam giác MAB là: $MA+MB+AB=MA+M{B}_1+2\sqrt{5}\ge A{B}_1+2\sqrt{5}=10\sqrt{2}+2\sqrt{5}$.
Dấu "=" $\iff M=A{B}_1\cap$ Ox.
Phương trình $A{B}_1:y=-7x+12$.
Vậy $M\left(\frac{12}{7};0\right)$.