Giả sử tích phân ${\int }_1^2\frac{x}{(x+1{)}^2}dx=a+b\ln 3+c\ln 2$ trong đó $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Tính tổng $S=a^2+b^2+c^2$.

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a$, $x=b$. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức nào sau đây?

Cho hai hàm số $f(x)=x^2$ và $g(x)=6-x$ có đồ thị trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lần lượt là đường cong $(C)$ và đường thẳng $d$ như trong hình vẽ bên. Gọi $(H)$ là hình phẳng được tô đậm.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Nghệ sỹ đường phố muốn sơn một ký hiệu lên tường là miền trong được giới hạn bởi hai đường cong $(C_1):y^2=x^3$, $(C_2):y^2=(2-x{)}^3$ và được mô hình hóa trên hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ (đơn vị trên trục tọa độ là mét). Giá sơn là 60.000 đồng/${\text{m}}^2$. Tính chi phí để người nghệ sỹ đó cần dùng để sơn ký hiệu lên tường (đơn vị nghìn đồng, làm tròn đến hàng đơn vị).

Nếu ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$ và ${\int }_1^{2}g(x)dx=-2$ thì ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx$ bằng

Nếu ${\int }_{-2}^{5}f(x)dx=8$ và ${\int }_{-2}^{5}g(x)dx=-3$ thì ${\int }_{-2}^5[f(x)-4g(x)-1]dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)+f(1-x)=3x^2-6,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng $\frac{a}{b}\sqrt{5}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó, giá trị của tổng $a+b$ bằng