Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)+f(1-x)=3x^2-6,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng $\frac{a}{b}\sqrt{5}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó, giá trị của tổng $a+b$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là $(C)$. Biết rằng đồ thị $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $\frac{1}{2}$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cho bởi hình vẽ bên. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-2x+2$?

Cho hàm số đa thức bậc ba y = f ( x ) đạt cực trị tại x1 ; x2 và x2 − x1 =3 , có đồ thị như 8+3 3 hình vẽ. Biết f ( x1 ) = và diện tích hình thang cong ở hình vẽ bên dưới (phần tô đậm) là 2 4 3 . Tính f ( x2 ). y D C A B x x1 x2 8−3 3 4− 3 2+ 3 2 3 −1

Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)$ có hai giá trị cực trị là $-3$ và $6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ bằng

Diện tích hình thang cong $ABCD$ có hình vẽ bên bằng:

Trường Phan Đình Phùng có một khoảng sân được giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng, diện tích của sân là $S$. Nếu đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ thì parabol có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng có phương trình là $y=25$. Ban Tổ Chức chương trình "Heo May-2007" cần một khoảng sân nhỏ để đặt Backdrop nên dự định chia diện tích $S$ thành hai phần bởi một đường thẳng đi qua hai điểm $O$ và $M(a;b)$, $a\ge 0$ trên parabol $(P)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol $y=x^2$ và đường thẳng $OM$ là $S_1$ (Phần tô đậm trên hình minh họa). Biết rằng $S_1$ chiếm $2,7\%$ so với toàn bộ diện tích $S$, tính $a+b$.

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-\frac{1}{2}$ và $g(x)=d{x}^2+ex+1$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $-3;-1;1$ (tham khảo hình vẽ):

Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng: