Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là $(C)$. Biết rằng đồ thị $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $\frac{1}{2}$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cho bởi hình vẽ bên. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-2x+2$?

Cho ∫ f ( x ) dx = 3, tính giá trị của ∫  2 f ( x )  dx. 1 1

Tính ∫ [ x + f ( x) ] dx biết rằng ∫ [ 2 x − 1 + f (2 x − 1)] dx = 2. 1 1

Tính ∫ f ( x)dx biết rằng ∫ [ f ( x) − x ] dx = 3. −1 −1

Cho hàm số đa thức bậc ba y = f ( x ) đạt cực trị tại x1 ; x2 và x2 − x1 =3 , có đồ thị như 8+3 3 hình vẽ. Biết f ( x1 ) = và diện tích hình thang cong ở hình vẽ bên dưới (phần tô đậm) là 2 4 3 . Tính f ( x2 ). y D C A B x x1 x2 8−3 3 4− 3 2+ 3 2 3 −1

Biết đồ thị hàm số y = x3 + bx 2 + cx + d có đúng hai điểm chung A, B với trục hoành, đồng thời hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + bx 2 + cx + d và trục hoành có diện tích bằng 3 . Tính độ dài đoạn AB.

Biết ${\int }_0^{2}f(x)dx=10$ và ${\int }_0^{1}f(x)dx=4$. Giá trị của ${\int }_1^{2}f(x)dx$ bằng