Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$; $(S_2):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=16$ và điểm $A(1;6;0)$. Xét đường thẳng $\Delta$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $(S_1)$ đồng thời cắt $(S_2)$ tại hai điểm $B,C$ phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=1$ và điểm $A(2;2;2)$. Xét các điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho đường thẳng $AM$ luôn tiếp xúc với $(S)$. Khi đó $M$ luôn thuộc mặt phẳng cố định có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua $E(1+3a;-2;2+3a)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;1;a+1)$. Biết khi $a$ thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu $(S)$ cố định có tâm $I(m;n;p)$ bán kính $R$ đi qua điểm $M(1;1;1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$. Một khối nón $(N)$ có đỉnh $I$ và đường tròn đáy của khối nón nằm trên mặt cầu $(S)$. Thể tích lớn nhất của khối nón $(N)$ là $\max V_{(N)}=\frac{q\pi }{3}$. Khi đó tổng $m+n+p+q$ bằng

Cho hai mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=36$ và $(S^{\prime }):(x+1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=81$. Gọi $d$ là đường thẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu trên và cách điểm $M(4;-1;-7)$ một khoảng lớn nhất. Gọi $E(m;n;p)$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $(P):2x-y+z-17=0$. Biểu thức $T=m+n+p$ có giá trị bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;-2;3)$. Phương trình mặt cầu tâm $I$, cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=2\sqrt{3}$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(C):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=25$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $S(3;5;1)$ và cắt mặt cầu tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=6$ (với giả thiết $SA<SB$). Khi $OA$ đạt giá trị lớn nhất, đặt $d(O,\Delta )=M$; còn khi $OA$ đạt giá trị nhỏ nhất, đặt $d(O,\Delta )=m$. Khi đó $(M+m)\cdot 2-M\cdot m$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=25$ và đường thẳng $d:\frac{x+4}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-4}{2}$. Gọi $M(a;b;c)$ ($b<0$) là một điểm trên $d$ và $MA,MB$ là 2 tiếp tuyến với mặt cầu $(S)$ vuông góc với $d$ vẽ từ $M$ ($A,B$ là các tiếp điểm). Khi diện tích tam giác $MAB$ lớn nhất thì $a+b+c$ bằng