Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua $E(1+3a;-2;2+3a)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;1;a+1)$. Biết khi $a$ thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu $(S)$ cố định có tâm $I(m;n;p)$ bán kính $R$ đi qua điểm $M(1;1;1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$. Một khối nón $(N)$ có đỉnh $I$ và đường tròn đáy của khối nón nằm trên mặt cầu $(S)$. Thể tích lớn nhất của khối nón $(N)$ là $\max V_{(N)}=\frac{q\pi }{3}$. Khi đó tổng $m+n+p+q$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(C):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=25$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $S(3;5;1)$ và cắt mặt cầu tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=6$ (với giả thiết $SA<SB$). Khi $OA$ đạt giá trị lớn nhất, đặt $d(O,\Delta )=M$; còn khi $OA$ đạt giá trị nhỏ nhất, đặt $d(O,\Delta )=m$. Khi đó $(M+m)\cdot 2-M\cdot m$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-8{)}^2+y^2+z^2=32$. Đường thẳng $\Delta$ thay đổi đi qua $O$ và tiếp xúc với $(S)$ tại $M$. Tập hợp các điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là km), một tàu đánh cá gặp nạn đang phát tín hiệu cấp cứu tại vị trí $T(1;-2;1)$, tín hiệu này có bán kính phủ sóng tối đa là 9 km. Một trực thăng cứu hộ đang bay từ vị trí $P(10;10;13)$ theo hướng vectơ $\vec{u}=(-3;-4;-4)$ với tốc độ không đổi $150\text{ km}/\text{h}$.
Các khẳng định sau đúng hay sai?

Câu 3. Trong một dự án khảo sát địa chất thăm dò tài nguyên, các nhà khoa học phát hiện một túi khí tự nhiên trong lòng đất được xác định có dạng khối cầu $(S)$, một lớp đá móng ngăn cách các địa tầng là mặt phẳng $(P)$. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ phù hợp (mặt đất nằm trên mặt phẳng $Oxy$, chiều dương trục $Oz$ hướng lên trên), đơn vị trên mỗi trục là $10\text{ m}$, mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+11{)}^2=25$, lớp đá móng $(P)$ được coi là một mặt phẳng có phương trình $2x-y+2z+22=0$. Để thực hiện việc thăm dò, các nhà khoa học đặt mũi khoan được định hướng bắt đầu từ vị trí $A(-3;8;0)$ và tiến tới liên tục theo phương của vectơ $\vec{u}=(4;-3;-7)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, từ điểm $A(1;1;0)$ ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;1;1)$, bán kính $R=1$. Gọi $M(a;b;c)$ là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2a-b+2c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-3;-2)$ và điểm $M(0;1;2)$ sao cho từ $M$ có thể kẻ được ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A,B,C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60^{\circ },\widehat{BMC}=90^{\circ },\widehat{CMA}=120^{\circ }$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ là