Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-3;-2)$ và điểm $M(0;1;2)$ sao cho từ $M$ có thể kẻ được ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A,B,C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60^{\circ },\widehat{BMC}=90^{\circ },\widehat{CMA}=120^{\circ }$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ là

Chọn B.
Tính độ dài đoạn thẳng $MI$:
$$MI=\sqrt{(2-0{)}^2+(-3-1{)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6.$$
Đặt độ dài các đoạn tiếp tuyến $MA=MB=MC=l$.
Xét hình chóp đỉnh $M$ với ba cạnh bên bằng nhau $MA=MB=MC=l$ và các góc ở đỉnh:
- $\widehat{AMB}=60^{\circ }⟹AB=l$.
- $\widehat{BMC}=90^{\circ }⟹BC=l\sqrt{2}$.
- $\widehat{CMA}=120^{\circ }⟹AC=2l\sin 60^{\circ }=l\sqrt{3}$.
Nhận thấy $A{B}^2+B{C}^2=l^2+2l^2=3l^2=A{C}^2$, nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $ABC$ là $r_{ABC}=\frac{AC}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{2}$.
Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là $d=\sqrt{l^2-r_{ABC}^2}=\sqrt{l^2-\frac{3l^2}{4}}=\frac{l}{2}$.
Theo tính chất hình học tiếp tuyến mặt cầu, góc giữa đường sinh tiếp tuyến và trục là $\alpha$ với $\sin \alpha =\frac{R}{MI}$ và $\cos \alpha =\frac{l}{MI}$.
Đồng thời bán kính mặt cầu tính được là $R=3\sqrt{3}$.