Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ và $SA=a$. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $\frac{SM}{SA}=k$ ($0<k<1$). Tìm giá trị của $k$ để mặt phẳng $(BMC)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Chọn C.
Gọi $N$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(BMC)$.
Vì $BC\parallel AD$ nên giao tuyến của $(BMC)$ và $(SAD)$ qua $M$ song song với $BC$ và $AD$, tức $MN\parallel AD$.
Suy ra $\frac{SN}{SD}=\frac{SM}{SA}=k$.
Khối đa diện phía trên là $S.BCNM$ được chia thành hai khối chóp tam giác $S.BCM$ và $S.MCN$:
- $\frac{V_{S.BCM}}{V_{S.BCA}}=\frac{SM}{SA}=k⟹V_{S.BCM}=k{V}_{S.BCA}=\frac{k}{2}{V}_{S.ABCD}$.
- $\frac{V_{S.MCN}}{V_{S.ACD}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SD}=k^2⟹V_{S.MCN}=k^2{V}_{S.ACD}=\frac{k^2}{2}{V}_{S.ABCD}$.
Do đó:
$$V_{S.BCNM}=\frac{k+k^2}{2}{V}_{S.ABCD}.$$
Để mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau thì:
$$\frac{k+k^2}{2}=\frac{1}{2}⟺k^2+k-1=0.$$
Phương trình có nghiệm dương duy nhất trong khoảng $(0;1)$ là:
$$k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$$