Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba như hình vẽ, đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng $-\frac{1}{2}$.


Biết ${\int }_{-\frac{5}{2}}^{-1}x{f}^{\prime \prime }(x+2)dx=\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số tối giản. Tính $m^2+n$.