Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=\frac{3000}{1+3e^{-t}}$, $t\ge 0$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười)

Để kỷ niệm 70 năm ngày thành lập trường THPT Việt Đức, các cựu học sinh tổ chức phát hành áo kỷ niệm gây quỹ học bổng. Giả sử doanh số (tính bằng số áo bán được) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\frac{7000}{1+69e^{-t}}$, $t\ge 0$, trong đó thời gian $t$ được tính theo đơn vị ngày, kể từ thời điểm ngày phát hành đầu tiên (ngày 11/8/2025). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ (như hình vẽ).

Biết $BC=4$ km là khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển $AB$; Bờ biển $AB$ có độ dài là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên đất liền là 30 triệu đồng. Người ta xác định được vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ là điểm nối dây từ đất liền ra đảo sao cho tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất. Tính khoảng cách $BM$ (Đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V=18\left(m^3\right)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và bể không có nắp. Bể có chiều cao $h\left(m\right)$, chiều rộng đáy bể là $x\left(m\right)$. Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

Chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình $v$ (km/h) theo công thức:
$$C(v)=\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v(0<v\le 120).$$
Vận hành xe với tốc độ trung bình $v$ (km/h) bằng bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1500 tivi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 15 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 600 nghìn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 120 chiếc mỗi tuần. Biết chi phí hàng tuần là $C(x)=12000-\frac{5x}{2}$ (triệu đồng) trong đó $x$ là số lượng chiếc tivi bán ra trong tuần. Nhà sản xuất cần đặt giá bán bao nhiêu (triệu đồng) để đem lại lợi nhuận trong một tuần lớn nhất.

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G(x)=0,035x^2(15-x)$, trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ($x$ được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.