Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ (như hình vẽ).

Biết $BC=4$ km là khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển $AB$; Bờ biển $AB$ có độ dài là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên đất liền là 30 triệu đồng. Người ta xác định được vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ là điểm nối dây từ đất liền ra đảo sao cho tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất. Tính khoảng cách $BM$ (Đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V=18\left(m^3\right)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và bể không có nắp. Bể có chiều cao $h\left(m\right)$, chiều rộng đáy bể là $x\left(m\right)$. Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

Chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình $v$ (km/h) theo công thức:
$$C(v)=\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v(0<v\le 120).$$
Vận hành xe với tốc độ trung bình $v$ (km/h) bằng bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1500 tivi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 15 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 600 nghìn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 120 chiếc mỗi tuần. Biết chi phí hàng tuần là $C(x)=12000-\frac{5x}{2}$ (triệu đồng) trong đó $x$ là số lượng chiếc tivi bán ra trong tuần. Nhà sản xuất cần đặt giá bán bao nhiêu (triệu đồng) để đem lại lợi nhuận trong một tuần lớn nhất.

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G(x)=0,035x^2(15-x)$, trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ($x$ được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Một doanh nghiệp cung cấp phần mềm theo hình thức thuê bao hàng tháng. Qua khảo sát thị trường, nếu có $x$ nghìn khách hàng đăng ký thì mức giá phù hợp cho mỗi thuê bao được mô hình hóa bởi công thức $p(x)=500-10x$ (nghìn đồng/tháng), với $15\le x\le 30$. Nền tảng thanh toán giữ lại 5\% doanh thu. Tổng chi phí vận hành hàng tháng của doanh nghiệp được mô hình hóa bởi công thức $C(x)=500+20x+0,5x^2$ (triệu đồng). Để duy trì hệ thống phục vụ $x$ nghìn khách hàng, hàng tháng doanh nghiệp cần một lượng vốn hoạt động $K(x)=1000+20x$ (triệu đồng). Gọi $L(x)$ là lợi nhuận hàng tháng của doanh nghiệp và đặt $H(x)=\frac{L(x)}{K(x)}$ là chỉ số hiệu quả sử dụng vốn. Hỏi doanh nghiệp nên đặt giá thuê bao là bao nhiêu nghìn đồng mỗi tháng để chỉ số $H(x)$ lớn nhất? (Biết rằng chính sách định giá mức giá thuê bao chỉ được chọn theo các bội của 5 nghìn đồng).

Một con tàu vận chuyển container hàng hóa vượt đại dương có hành trình dài 6000 km với vận tốc không đổi là $v$ km/h. Việc vận chuyển hàng hóa bằng đường biển có chi phí tính theo giờ. Bao gồm: chi phí cố định là 100 đô la mỗi giờ; chi phí nhiên liệu là $0,0625v^2$ đô la mỗi giờ. Hỏi tổng chi phí nhỏ nhất của cả hành trình là bao nhiêu nghìn đô la?