Cho hàm số $y=f(x)=\frac{\cos x+m^2+3m}{\cos x+2}$ ($m$ là tham số thực). Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;\pi ]$ là $M$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa $M\le -1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\cos x$, với $x\in [0;\pi ]$ thì $t\in [-1;1]$. Ta có $f(t)=\frac{t+m^2+3m}{t+2}$ (mẫu luôn dương vì $t+2\ge 1>0$).

$f^{\prime }(t)=\frac{(t+2)-(t+m^2+3m)}{(t+2{)}^2}=\frac{2-m^2-3m}{(t+2{)}^2}$.

• Nếu $2-m^2-3m>0$ tức $m^2+3m<2$ (tức $m\in \left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)\approx (-3,56;0,56)$): hàm đồng biến, GTLN tại $t=1$: $M=\frac{m^2+3m+1}{3}$. Điều kiện $M\le -1\iff m^2+3m+4\le 0$, vô nghiệm vì $\Delta =9-16<0$.

• Nếu $2-m^2-3m<0$ tức $m^2+3m>2$ (tức $m<\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$ hoặc $m>\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$): hàm nghịch biến, GTLN tại $t=-1$: $M=m^2+3m-1$. Điều kiện $M\le -1\iff m^2+3m\le 0\iff m\in [-3;0]$. Nhưng giao với điều kiện $m^2+3m>2$ (tức $m<-3,56$ hoặc $m>0,56$) là tập rỗng.

• Nếu $m^2+3m=2$ thì $f(t)=1$ hằng, $M=1>-1$, không thỏa.

Vậy không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn.