Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z-3i|=5$ và $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo?

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R},z\ne 4$). Ta có $|z-3i|=5⟺x^2+(y-3{)}^2=25⟺x^2+y^2-6y-16=0$ (1). Số phức $\frac{z}{z-4}=\frac{(x+yi)(x-4-yi)}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x(x-4)+y^2-4yi}{(x-4{)}^2+y^2}$ là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0: $x(x-4)+y^2=0⟺x^2+y^2-4x=0$ (2). Trừ (1) cho (2) ta được: $4x-6y-16=0⟺2x=3y+8⟺x=\frac{3y+8}{2}$. Thay vào (2): $13y^2+24y=0⟺y=0$ hoặc $y=-\frac{24}{13}$. Với $y=0⟹x=4$, khi đó $z=4$ loại vì làm mẫu số triệt tiêu. Với $y=-\frac{24}{13}⟹x=\frac{16}{13}\ne 4$, thỏa mãn. Vậy có đúng 1 số phức $z$. Chọn A.