Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc đoạn $[1;4]$ của phương trình $f(x)=f(0)$ là

Ta có $f(x)-f(0)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt$. Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$: trên $(0;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến từ $f(0)$ đến $f(1)>f(0)$. Trên $(1;4)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $f^{\prime }(x)$ và trục hoành trên $[1;4]$ lớn hơn diện tích trên $[0;1]$, suy ra $f(4)-f(1)={\int }_1^4{f}^{\prime }(t)dt<-(f(1)-f(0))$, dẫn đến $f(4)<f(0)$. Do đó trên đoạn $[1;4]$, đồ thị hàm số liên tục, nghịch biến từ $f(1)>f(0)$ xuống $f(4)<f(0)$ nên phương trình $f(x)=f(0)$ có đúng 1 nghiệm thuộc $[1;4]$. Chọn C.