Có bao nhiêu số phức $z$ đôi một khác nhau thỏa mãn $|z+i|=2$ và $(z-2{)}^4$ là số thực?

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc 6h máy bay A xuất phát từ Đà Nẵng đến TPHCM theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia $Ox;Oy;Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800\text{ km/h}$. Mười phút sau máy bay B đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $O{x}^{\prime };O{y}^{\prime };Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900\text{ km/h}$ (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị km và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay A và B lúc 6h30'.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(5;0;2),B(5;10;4)$. Các điểm $M,N$ di động trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho độ dài $MN$ bằng 2. Tổng $AM+BN$ có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-1-2i|+|z-5-2i|$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;4;2),B(2;-6;0),C(-4;4;4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MB$ vuông góc với $MC$. Độ dài đoạn thẳng $AM$ lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Có hai chiếc Flycam bay lên từ cùng một thời điểm. Chiếc Flycam thứ nhất bay lên từ vị trí $A$, chiếc Flycam thứ hai bay lên từ vị trí $B$. Để theo dõi đường đi của hai chiếc Flycam này, người ta đã thiết lập các trạm có thể quan sát và xác định được tọa độ của chúng khi đặt trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$. Với cách chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước, đơn vị độ dài trên trục tọa độ là $1\text{ m}$, tọa độ các điểm $A(5;0;1),B(0;-30;1)$. Trong thời gian khoảng $20$ phút, họ quan sát thấy rằng mỗi chiếc Flycam chuyển động thẳng đều. Biết rằng sau $2$ phút chiếc thứ nhất ở vị trí $M(-5;-10;6)$, còn chiếc thứ hai ở vị trí $N(-12;-10;10)$.

Câu 3. Trong một dự án phủ sóng viễn thông cho vùng cao, các kỹ sư cần lắp đặt một trạm phát sóng trên một sườn núi. Qua khảo sát, sườn núi này được mô hình hóa trong hệ tọa độ $Oxyz$ bằng mặt phẳng $(P):x+y-4z-4=0$ (với $z\ge 0$, đơn vị trên các trục là 100 m). Trạm phát sóng có cột ăng-ten cao 100m, được dựng thẳng đứng (song song với trục $Oz$) với chân cột $H(x_H;y_H;z_H)$ nằm trên sườn núi $(P)$. Thiết bị phát tín hiệu đặt tại đỉnh $S$ của cột có bán kính phủ sóng tối đa là $100\sqrt{54}\text{ m}$. Dưới chân núi có một khu dân cư nhỏ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Để đảm bảo sóng ổn định và bao phủ toàn bộ khu vực này, các kỹ sư tính toán yêu cầu hai vị trí trọng yếu là $A(-3;1;0)$ và $B(1;-1;0)$ phải nằm ở vạch ranh giới cuối cùng của vùng phủ sóng. Tính giá trị $T=x_H+y_H+z_H$.