Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;4;2),B(2;-6;0),C(-4;4;4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MB$ vuông góc với $MC$. Độ dài đoạn thẳng $AM$ lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Có hai chiếc Flycam bay lên từ cùng một thời điểm. Chiếc Flycam thứ nhất bay lên từ vị trí $A$, chiếc Flycam thứ hai bay lên từ vị trí $B$. Để theo dõi đường đi của hai chiếc Flycam này, người ta đã thiết lập các trạm có thể quan sát và xác định được tọa độ của chúng khi đặt trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$. Với cách chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước, đơn vị độ dài trên trục tọa độ là $1\text{ m}$, tọa độ các điểm $A(5;0;1),B(0;-30;1)$. Trong thời gian khoảng $20$ phút, họ quan sát thấy rằng mỗi chiếc Flycam chuyển động thẳng đều. Biết rằng sau $2$ phút chiếc thứ nhất ở vị trí $M(-5;-10;6)$, còn chiếc thứ hai ở vị trí $N(-12;-10;10)$.

Câu 3. Trong một dự án phủ sóng viễn thông cho vùng cao, các kỹ sư cần lắp đặt một trạm phát sóng trên một sườn núi. Qua khảo sát, sườn núi này được mô hình hóa trong hệ tọa độ $Oxyz$ bằng mặt phẳng $(P):x+y-4z-4=0$ (với $z\ge 0$, đơn vị trên các trục là 100 m). Trạm phát sóng có cột ăng-ten cao 100m, được dựng thẳng đứng (song song với trục $Oz$) với chân cột $H(x_H;y_H;z_H)$ nằm trên sườn núi $(P)$. Thiết bị phát tín hiệu đặt tại đỉnh $S$ của cột có bán kính phủ sóng tối đa là $100\sqrt{54}\text{ m}$. Dưới chân núi có một khu dân cư nhỏ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Để đảm bảo sóng ổn định và bao phủ toàn bộ khu vực này, các kỹ sư tính toán yêu cầu hai vị trí trọng yếu là $A(-3;1;0)$ và $B(1;-1;0)$ phải nằm ở vạch ranh giới cuối cùng của vùng phủ sóng. Tính giá trị $T=x_H+y_H+z_H$.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2\text{ km}$ về phía Đông và $3\text{ km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,75\text{ km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1,5\text{ km}$ về phía Bắc và $1\text{ km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Điểm $M$ như hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?

Ngày 31-7-2016, Tổng công ty Quản lý bay Việt Nam đã làm lễ khánh thành và đưa vào sử dụng trạm rađa thứ hai tại Sơn Trà và hệ thống xử lý dữ liệu rađa tại Trung tâm điều hành bay Đà Nẵng. Trạm rađa thứ hai đưa vào hoạt động tăng cường công tác quản lý vùng trời, bảo đảm vững chắc an ninh chủ quyền của Tổ quốc. Trạm rađa thứ hai và hệ thống xử lý dữ liệu rađa ở Trung tâm điều hành bay Đà Nẵng có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc bảo đảm hoạt động bay, góp phần giám sát, quản lý vùng trời, bảo đảm vững chắc an ninh chủ quyền của Tổ quốc. Với bán kính giám sát lên tới $450\text{ km}$. (Theo tuoitre.vn)

Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ km}$), Trạm rađa thứ hai ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $450\text{ km}$. Một máy bay $A$ đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=150+t\\ y=300-t\\ z=300\end{array}$, $(0\le t\le 300)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (hình vẽ).



Hỏi quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu dài bao nhiêu km? (Làm tròn tới hàng đơn vị)

Cho số phức $z$ thoả mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2{|}^2-|z-i{|}^2$. Tính môđun của số phức $w=M+mi$.