Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $G$, $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi — nguồn trang 25 chỉ in bảng Mệnh đề với cột Đúng/Sai để trống, không có đáp án chính thức)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $G$ là trọng tâm: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Vì $D$ đối xứng của $B$ qua $G$: $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}$. Vì $M$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$.

(a) Theo quy tắc ba điểm (Chasles): $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}$ luôn đúng với mọi vị trí $M,G,D$.

(b) $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, nên sai.

(c) $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}-\vec{c}=-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Điểm $N$ không được định nghĩa trong đề; thử cả các vị trí tự nhiên (trung điểm $BC$, trung điểm $AG$) thì vế phải $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BN}$ đều không bằng $-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, nên mệnh đề sai.

(d) $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}=\frac{4\vec{c}-2\vec{b}-3\vec{b}-3\vec{c}}{6}=\frac{\vec{c}-5\vec{b}}{6}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$, nên đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}$ luôn đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$; điểm $N$ không được định nghĩa và vế phải không thể rút gọn về giá trị này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{c}-5\vec{b}}{6}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.