Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=2$, $BD=6$, $AC\perp BD$. Gọi $M$, $N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$. Tính $M{N}^2$.

Người ta treo một chiếc đèn trang trí có trọng lượng 180 N lên trần nhà bằng ba sợi dây không co giãn, bằng nhau tại ba điểm $A,B,C$. Mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà một góc $60^{\circ }$, đèn được giữ ở trạng thái cân bằng. Biết tam giác $ABC$ đều, hỏi độ lớn lực căng của mỗi sợi dây là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $G$ và luôn cắt các tia $AB$, $AC$, $AD$ lần lượt tại các điểm $I$, $N$, $P$ (khác đỉnh $A$). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{A{B}^2}{A{I}^2}+\frac{A{C}^2}{A{N}^2}+\frac{A{D}^2}{A{P}^2}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho tứ diện $ABCD$, G là trọng tâm tứ diện. Gọi $G_1$ là giao điểm của AG và $\mathrm{mp}(BCD)$, $G_2$ là giao điểm của BG và $\mathrm{mp}(ACD)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, $ABD$. Đường thẳng $IJ$ song song với đường thẳng

Cho tam giác $ABC$ có $AB=a;AC=2a,A=60^{\circ }$. $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=a;AC=2a,A=60^{\circ }$. $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.