Cho tứ diện $ABCD$. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, $ABD$. Đường thẳng $IJ$ song song với đường thẳng

Cho tam giác $ABC$ có $AB=a;AC=2a,A=60^{\circ }$. $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=a;AC=2a,A=60^{\circ }$. $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.

Với tam giác $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$. Ký hiệu độ dài các cạnh là $BC=a,CA=b,AB=c$.

1) Lấy điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Chứng minh rằng $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

2) Chứng minh rằng
$$O{H}^2=9R^2-a^2-b^2-c^2.$$

3) Nếu tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức
$$\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HA}\cdot \overrightarrow{HB}=-\frac{3R^2}{2}.$$
Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $M$ là trung điểm của $BC$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{HK}$.

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{PQ}$.