Cho tam giác $ABC$ có $AB=a;AC=2a,A=60^{\circ }$. $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$, ta có $2(\vec{A}-\vec{M})+3(\vec{B}-\vec{M})=\vec{0}\Rightarrow \vec{M}=\frac{2\vec{A}+3\vec{B}}{5}$. Vậy $M$ nằm trên đoạn $AB$, với $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ (a đúng, b đúng). c) $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, khác $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ nên c sai. d) $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=(-\overrightarrow{AC})\cdot \left(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+A{C}^2$. Vì $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }=a^2$ và $A{C}^2=4a^2$, nên $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=-\frac{3}{5}{a}^2+4a^2=\frac{17}{5}{a}^2$ (d đúng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{M}=\frac{2\vec{A}+3\vec{B}}{5}$ nên $M$ thuộc đoạn $AB$, nằm giữa $A$ và $B$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\vec{M}-\vec{A}=\frac{3}{5}(\vec{B}-\vec{A})=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, không phải $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+A{C}^2=-\frac{3}{5}{a}^2+4a^2=\frac{17}{5}{a}^2$.