Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{PQ}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ và $BC$. Gọi $E$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với cạnh $SA$. Biết tỉ số $\frac{SE}{EA}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Tính $2m+n$.

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là điểm nằm trên $C{C}^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{MC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{M{C}^{\prime }}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$ (*tham khảo hình vẽ bên dưới*). Khẳng định nào sau đây **đúng**?

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là điểm nằm trên $C{C}^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{MC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{M{C}^{\prime }}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$ (tham khảo hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề SAI?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{AG}$ bằng

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Hai điểm $M,N$ theo thứ tự thay đổi trên các đoạn $AB$ và $CD$ sao cho $BM=DN$. Gọi $m,n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $MN$. Giá trị của $m^2+n^2$ bằng: