Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là điểm nằm trên $C{C}^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{MC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{M{C}^{\prime }}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$ (tham khảo hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề SAI?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{AG}$ bằng

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Hai điểm $M,N$ theo thứ tự thay đổi trên các đoạn $AB$ và $CD$ sao cho $BM=DN$. Gọi $m,n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $MN$. Giá trị của $m^2+n^2$ bằng:

Cho tam giác $ABC$. Gọi $N$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BN=2NC$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác. Xét các mệnh đề sau:

(1) $\overline{IB},\overline{IC}$ là hai vecto đối nhau.　(2) $\overline{AB}+\overline{AC}=\overline{AI}$.

(3) $\overline{GA}=2\overline{GI}$.　(4) $\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC}=3\overline{MG}$ ($M$ là điểm tùy ý).

Trong các mệnh đề trên, số các mệnh đề đúng là:

Cho tam giác $ABC$, lấy $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $2MB=3MC$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=\frac{a}{c}\overrightarrow{AB}+\frac{b}{c}\overrightarrow{AC}$ với $\frac{a}{c},\frac{b}{c}$ là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=a^2+b^2-c^2$?