Cho tam giác $ABC$ có $AB=a;AC=2a,A=60^{\circ }$. $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$, đặt $A$ làm gốc, $B$ có vectơ $\vec{b}$: $-2\vec{m}+3(\vec{b}-\vec{m})=\vec{0}\Rightarrow \vec{m}=\frac{3}{5}\vec{b}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. a) Đúng vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ (hệ số $0<\frac{3}{5}<1$). b) Đúng. c) $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, khác $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ nên Sai. d) $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}={\overrightarrow{CA}}^2+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AM}=4a^2+\frac{3}{5}(\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB})$. Vì $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=-2a\cdot a\cos 60^{\circ }=-a^2$, nên $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=4a^2-\frac{3}{5}{a}^2=\frac{17}{5}{a}^2$: Đúng. Khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ với $0<\frac{3}{5}<1$, nên $M$ nằm giữa $A$ và $B$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc $A$: $-2\overrightarrow{AM}+3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM})=\vec{0}\Rightarrow 5\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, không phải $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=|\overrightarrow{CA}{|}^2+\frac{3}{5}\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=4a^2+\frac{3}{5}(-2a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }\cdot (-1))=4a^2-\frac{3}{5}{a}^2=\frac{17}{5}{a}^2$.