Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, gọi $I,K,G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $AC{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) ĐÚNG: Trong lăng trụ $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, mà $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $B{B}^{\prime }\not\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
b) ĐÚNG: $(ABC)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là hai mặt đáy của lăng trụ nên song song.
c) ĐÚNG: Đặt $A(0;0;0),B(1;0;0),C(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1)$ (suy ra $B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(0;1;1)$). Trọng tâm $△ABC$: $I(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0)$; trọng tâm $△AC{C}^{\prime }$: $G(0;\frac{1}{3};\frac{1}{3})$. Đường $IG$: $(x;y;z)=(\frac{1}{3}-\frac{t}{3};\frac{1}{3};\frac{t}{3})$. Mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ có phương trình $x+y=1$; thay vào được $\frac{1}{3}-\frac{t}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow t=-1$, giao điểm $(\frac{2}{3};\frac{1}{3};-\frac{1}{3})$, vậy $IG$ cắt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
d) SAI: $K$ là trọng tâm $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $A(0;0;0),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(0;1;1)$ nên $K(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3})$. Ba điểm $I(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0)$, $K(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3})$, $G(0;\frac{1}{3};\frac{1}{3})$ đều có $y=\frac{1}{3}$ nên $(IKG)$ là mặt phẳng $y=\frac{1}{3}$, còn $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $x+y=1$; hai mặt phẳng cắt nhau theo đường $x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{3}$, do đó không song song.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $B{B}^{\prime }\not\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(ABC)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là hai mặt đáy của lăng trụ nên song song.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0;0),B(1;0;0),C(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1)$: $I(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0)$, $G(0;\frac{1}{3};\frac{1}{3})$. Đường $IG$: $(\frac{1}{3}-\frac{t}{3};\frac{1}{3};\frac{t}{3})$; mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$ cho $t=-1$, giao điểm $(\frac{2}{3};\frac{1}{3};-\frac{1}{3})$, vậy $IG$ cắt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$K$ là trọng tâm $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(0;1;1)$ nên $K(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3})$. Ba điểm $I,K,G$ đều có $y=\frac{1}{3}$ nên $(IKG)$ là mặt phẳng $y=\frac{1}{3}$, cắt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$ theo đường $x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{3}$, nên không song song.