Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-2x}& \text{khi }x>2,\\ mx+1& \text{khi }x\le 2.\end{array}$ Tìm $m$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty ,2)$ và $(2,\infty )$ vì $mx+1$ là hàm đa thức và $\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-2x}$ là hàm phân thức xác định với $x>2$. Vậy chỉ cần xét tính liên tục tại $x=2$. Ta có $f(2)=2m+1$. Tính giới hạn phải: $$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-2x}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{(x+2)-4}{x(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\frac{1}{2\cdot (2+2)}=\frac{1}{8}.$$ Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)$, tức là $$2m+1=\frac{1}{8}\Rightarrow 2m=-\frac{7}{8}\Rightarrow m=-\frac{7}{16}.$$ Vậy $m=-\frac{7}{16}$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. (Kiểm tra lại: nhân hữu thức $\sqrt{x+2}-2=\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}$, mẫu $x(x-2)$, giới hạn $=\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}$; $2\left(-\frac{7}{16}\right)+1=-\frac{7}{8}+1=\frac{1}{8}$ — khớp.)