Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2x}{\sqrt{x+1}-1}& \text{khi }x\ne 0\\ x^2-mx+3& \text{khi }x=0,\end{array}$ $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để hàm số đã cho liên tục tại $x_0=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$.

Tính giới hạn bên trái/phải (cùng một biểu thức với $x\ne 0$):
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{\left(\sqrt{x+1}-1\right)\left(\sqrt{x+1}+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }2\left(\sqrt{x+1}+1\right)=2(1+1)=4.$$

Giá trị của hàm tại $x=0$:
$$f(0)=0^2-m\cdot 0+3=3.$$

Để hàm liên tục tại $x_0=0$ phải có $f(0)=4$, tức là $3=4$, điều này vô lý. Giá trị $f(0)=3$ không phụ thuộc vào $m$, do đó không tồn tại giá trị $m$ nào để hàm số liên tục tại $x_0=0$.

Kết luận: Không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn (có thể đề bài gốc tại điểm $x=0$ có hằng số khác, ví dụ $x^2-mx+4$ thì $m$ bất kỳ; nhưng theo đúng dữ kiện đã cho với hằng số $3$, không tồn tại $m$).