Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD$ và $ACD$. Tính tỉ số $\frac{IK}{AB}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một hồ bơi có dạng là một hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ được đặt theo phương nằm ngang với đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ và các kích thước đã cho như hình vẽ bên dưới. Biết rằng diện tích hình thang vuông $ABCD$ bằng $150m^2$. Một người xuất phát từ thành hồ $B{B}^{\prime }$ ở vị trí ứng với độ sâu $1m$ và bơi thẳng về phía cuối hồ $A{A}^{\prime }$ với vận tốc $1m/s$. Hỏi sau 40 giây thì người này đang ở khu vực của hồ có độ sâu là bao nhiêu mét?

Một bể dựng nước được xây dựng hình hộp chữ nhật có chiều cao của bể là 10 mét. Trong bể người ta lắp một chiếc thang có độ dài 15 mét nối đáy bể và mặt bể (tham khảo hình vẽ bên). Khi mặt nước cách mặt bể 1 mét thì phần thang bị ngập trong nước có độ dài là bao nhiêu mét?

Cho hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M$ là trọng tâm $△ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt $(ADF)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(P)$ và $AC$. Tính tỉ số $\frac{AN}{NC}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Trên các cạnh $SB$, $SD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SC$ tại $J$. Tính tỉ số $k=\frac{SJ}{SC}$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Trên tia đối của tia $C{C}^{\prime }$ lấy điểm $D$ sao cho $C{C}^{\prime }=4CD$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }D)$ cắt các đường thẳng $AC$ và $BC$ lần lượt tại các điểm $I$ và $J$. Tỉ số $\frac{IJ}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap ($AD//BC$). Gọi $M$ là điểm di động bên trong hình thang $ABCD$. Qua $M$ vẽ các đường thẳng song song với $SA$, $SB$ và lần lượt cắt các mặt phẳng $(SBC),(SAD)$ theo thứ tự tại $N$ và $P$. Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.