Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho $SN=2NB$, $P$ là giao điểm của $MN$ với mặt phẳng $(ABCD)$. a) Chứng minh $PC\parallel (SBD)$. b) Gọi $H$ là giao điểm của $(NPC)$ với $SD$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$. Chứng minh $(NHG)\parallel (ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn S làm gốc vectơ. Đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$, tức $\vec{d}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

Xác định điểm P: $M$ là trung điểm $SA$ nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\vec{a}$; $SN=2NB$ nên $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{b}$. Điểm $X$ trên đường thẳng $MN$ có dạng $\overrightarrow{SX}=(1-t)\cdot \frac{1}{2}\vec{a}+t\cdot \frac{2}{3}\vec{b}$. Để $X\in (ABCD)$, tổng các hệ số theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ phải bằng 1: $\frac{1-t}{2}+\frac{2t}{3}=1\Rightarrow t=3$. Vậy $\overrightarrow{SP}=-\vec{a}+2\vec{b}$.

a) Ta có $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SP}=\vec{c}-(-\vec{a}+2\vec{b})=\vec{a}+\vec{c}-2\vec{b}=(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})-\vec{b}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{BD}$. Suy ra $PC\parallel BD$, mà $BD\subset (SBD)$ và $PC\not\subset (SBD)$, do đó $PC\parallel (SBD)$.

b) Vì $N\in SB\subset (SBD)$ và $PC\parallel (SBD)$, mặt phẳng $(NPC)$ cắt $(SBD)$ theo giao tuyến $\Delta$ đi qua $N$ và $\Delta \parallel PC\parallel BD$. Trong tam giác $SBD$, đường thẳng qua $N$ với $\frac{SN}{NB}=2$ song song $BD$ cắt $SD$ tại $H$ thỏa $\frac{SH}{HD}=\frac{SN}{NB}=2$, tức $\overrightarrow{SH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{SD}=\frac{2}{3}\vec{d}$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $SCD$: $\overrightarrow{SG}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{3}=\frac{\vec{a}+2\vec{c}-\vec{b}}{3}$.

Biểu diễn các vectơ theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ và tính tổng hệ số (mặt phẳng $(ABCD)$ là tập các điểm có tổng hệ số bằng 1, các mặt phẳng song song với nó là tập các điểm có cùng tổng hệ số):
- $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{b}$: tổng hệ số $=\frac{2}{3}$.
- $\overrightarrow{SH}=\frac{2}{3}\vec{d}=\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$: tổng hệ số $=\frac{2}{3}$.
- $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$: tổng hệ số $=\frac{2}{3}$.

Cả ba điểm $N,H,G$ đều nằm trên mặt phẳng có tổng hệ số bằng $\frac{2}{3}$, khác mặt phẳng $(ABCD)$ (tổng bằng 1), và ba điểm này không thẳng hàng. Vậy $(NHG)\parallel (ABCD)$. Đpcm.