Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=1$, $AD=2$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm $H$ của $AD$ và $SH=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong một nhà máy thông minh, hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập để điều hành các thiết bị tự động, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Mặt sàn nhà máy nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Một bộ định tuyến phát sóng Wi-Fi được treo tại vị trí $A(-3;4;9)$, một cảm biến đo chấn động được gắn ngầm dưới nền nhà máy tại vị trí $B(6;16;-4)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt sàn. Một robot tự hành $M$ di chuyển trên mặt sàn và luôn giữ khoảng cách đến bộ định tuyến $A$ bằng $15\text{ m}$. Biết rằng robot $M$ có nhiệm vụ đồng bộ dữ liệu với cảm biến $B$ và quá trình này đạt độ ổn định cao nhất khi khoảng cách giữa robot và cảm biến là nhỏ nhất.

Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $1$ mét. Mặt phẳng $(Oxy)$ biểu diễn mặt sàn của một gara, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên. Một bức tường thẳng đứng trong gara được mô hình hóa bởi mặt phẳng $(E):6x+8y=55$. Chiếc ô tô đang lùi chậm vào vị trí đỗ theo hướng vectơ $\vec{v}=(3;4;0)$.

Ba cảm biến lùi được gắn cố định trên cản sau của ô tô. Tại thời điểm bắt đầu xét, tọa độ của ba cảm biến lần lượt là $A(4,57;0,51;0,5)$, $B(3,37;1,41;0,5)$, $C(4;1;0,5)$. Hệ thống phát tín hiệu cảnh báo "Bíp" tại thời điểm đầu tiên có ít nhất một cảm biến cách bức tường $(E)$ không quá $0,3$ mét. Gọi $R(a;b;c)$ là tọa độ của cảm biến đầu tiên đạt ngưỡng cảnh báo. Tính $a-b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-4y-8z-1=0$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-12=0$ bằng

Tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;2;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z=0$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=4$. Biết khi $a,b,c$ thay đổi thì tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ thuộc một mặt phẳng $(P)$ cố định. Khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng