Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ ($0\le t\le 13$), $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. Tại thời điểm $t=2$ giờ đã có $500$ người có mặt.

Hình vẽ bên mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân tại một nhà máy trong thời gian $6$ giờ. Công nhân $A$ đang sản xuất với hiệu suất $Q_1^{\prime }(t)=-2t^2+4t+58$ sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân $B$ đang sản xuất với hiệu suất $Q_2^{\prime }(t)=53+at$ sản phẩm mỗi giờ ($a\in \mathbb{R}$). Biết rằng hàm $Q_1(t)$ và $Q_2(t)$ mô phỏng số lượng sản phẩm làm được của công nhân $A$ và công nhân $B$ sau $t$ giờ.

Nước chảy ra từ một chiếc bể với tốc độ $v(t)=(500-5t)\text{ lıˊt/phuˊt}$, (với $t$ là thời gian tính bằng phút). Tính tổng lượng nước chảy ra trong 20 phút đầu tiên.

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 6 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số $v(t)=-0,1t^3+t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v(t)$ tính bằng cm/tuần. Gọi $h(t)$ (tính bằng cm) là chiều cao của cây cà chua ở tuần thứ $t$.

Tại một trại tôm ở một địa phương, do sự cố mất điện tạm thời, khi hệ thống hoạt động trở lại ($t=0$), mức nước trong bể hình hộp chữ nhật (diện tích đáy $S=40{\text{ m}}^2$) đang ở mức $0,5$ mét. Để bù đắp lượng oxy thiếu hụt, máy bơm hoạt động với công suất tăng cường theo thời gian: $V_{\text{vao}}=4t+12$ (${\text{m}}^3$/giờ). Hệ thống xả tự động vẫn vận hành theo công thức: $V_{\text{ra}}=\frac{40h(t)}{t+2}$ (${\text{m}}^3$/giờ) để đảm bảo áp suất đáy, với $h(t)$ là chiều cao mực nước tại thời điểm $t$ (tính bằng mét). Sau $2$ giờ vận hành kể từ khi có điện lại, mực nước trong bể tăng bao nhiêu mét so với lúc ban đầu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Một viên pin xe đạp điện có dung lượng thiết kế $30000\text{ mAh}$. Tốc độ nạp điện vào pin được mô tả bởi hàm số $I(t)=600e^{-0,01t}$ (mAh/phút) và tốc độ tiêu hao do nhiệt của mạch điện là $n(t)=10e^{0,04t}$ (mAh/phút), với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng phút. Gọi $Q(t)$ là lượng điện tích lũy được trong pin tại thời điểm $t$. Biết $Q(t)=\int [I(t)-n(t)]dt$ và ban đầu khi pin xe cạn điện thì $Q(0)=0$. Xét tính đúng sai các ý sau:

Trong một bể xử lý nước thải, số lượng vi khuẩn gây hại tại thời điểm $t$ được kí hiệu bằng $N(t)$ (đơn vị: con). Người ta nhận thấy rằng trong giai đoạn đầu (khi môi trường chưa bị hạn chế), tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn tuân theo quy luật hàm mũ và được mô hình hóa bởi hàm số $N^{\prime }(t)=A\cdot e^{kt}$, trong đó: $A,k$ là các hằng số dương, $t$ là thời gian (đơn vị: giờ). Từ các nghiên cứu thực nghiệm (sau khi xử lý và làm tròn số liệu), người ta ước lượng được $A=1000\ln 2$ và tại thời điểm $t=1$ giờ có $3000$ vi khuẩn; $N^{\prime }(1)=2000\ln 2$. Biết rằng mức độ an toàn cho phép là không quá $65000$ vi khuẩn.