Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-4y-8z-1=0$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-12=0$ bằng

Tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;2;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z=0$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=4$. Biết khi $a,b,c$ thay đổi thì tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ thuộc một mặt phẳng $(P)$ cố định. Khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong quá trình cất cánh tại sân bay, một chiếc máy bay bắt đầu rời khỏi đường băng và bay lên không trung. Để mô tả vị trí của máy bay, người ta thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên các trục tọa độ là km). Biết $D$ là vị trí của máy bay, $OD=16;OA=OB;\widehat{DOC}=60^{\circ }$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;2)$, $B(3;0;5)$, $C(1;1;0)$ và $D(4;1;2)$. Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(13;-7;-13),B(1;-1;5),C(1;1;-3)$. Xét các mặt phẳng $(P)$ đi qua $C$ sao cho $A$ và $B$ nằm cùng phía so với $(P)$. Khi $d(A;(P))+2d(B;(P))$ đạt giá trị lớn nhất thì $(P)$ có dạng $ax+by+cz+3=0$. Giá trị của $a+b+c$ bằng