Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$, $M$ là trung điểm cạnh $C{C}^{\prime }$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{BM}\right)$.

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }C}$.

a) Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính cosin góc tạo bởi hai véc tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}$.

b) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là điểm thay đổi trên $SO$. Tỉ số $\frac{SM}{SO}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2;1)$ và $B(3;-2;1)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vecto $\vec{u}=(1;1;-2)$, $\vec{v}=(1;0;m)$. Giá trị của tham số $m$ (làm tròn đến hàng phần trăm) để góc giữa $\vec{u}$, $\vec{v}$ bằng $45^{\circ }$ là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;-1;0)$, $B(-2;5;3)$, $C(3;4;9)$.