Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2AD=2a$ và $A{A}^{\prime }=a$. Gọi $\alpha$ góc nhị diện $\left[A^{\prime },BD,C\right]$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

(AI giải đề cho tôi) Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(2a;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$. Mặt phẳng $(BDC)$: $x+2y-2a=0$, vtcp pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;2;0)$, $|\overrightarrow{n_1}|=a\sqrt{5}$. Mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ qua $A^{\prime },B,D$: $x+2y+2z-2a=0$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;2;2)$, $|\overrightarrow{n_2}|=3a$. $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{5a^2}{3a^2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ và $\tan \alpha =\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Vậy đáp án C.