Cho lăng trụ đều $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên bằng cạnh đáy.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy = cạnh bên = a. a) Đúng: lăng trụ đều có AA' ⊥ (ABC), mà AA' ⊂ (A'AB) nên (ABC) ⊥ (A'AB). b) Đúng: BB' ⊥ (ABC) nên góc giữa BB' và (ABC) bằng 90°. c) Đúng: hình chiếu của B'C lên (ABC) là BC, góc cần tìm là góc B'CB của tam giác vuông B'BC với tan∠B'CB = B'B/BC = a/a = 1, suy ra góc bằng 45°. d) Đúng: góc nhị diện [A, B'C', A'] có cạnh B'C'. Trong mặt phẳng (A'B'C') (tam giác đều), kẻ A'M ⊥ B'C' (M là trung điểm B'C', A'M = a√3/2). Trong mặt phẳng (AB'C'), kẻ AN ⊥ B'C'; vì tam giác AB'C' cân tại A (AB' = AC' = a√2, B'C' = a) nên N là trung điểm B'C', tức N ≡ M, và AM = √(AB'^2 − (a/2)^2) = √(2a² − a²/4) = (a√7)/2. Góc nhị diện α = ∠A'MA với tam giác vuông A'MA (A'M ⊥ B'C' nên A'M ⊥ MN nằm trong B'C'... chính xác hơn A'M ⊥ MM' và tam giác A'MA vuông tại M vì A'M ⊥ B'C' và MN ⊂ B'C'). Ta có cos α = A'M/AM = (a√3/2)/((a√7)/2) = √(3/7), suy ra sin α = 2/√7 và tan α = (2/√7)/(√3/√7) = 2/√3. Vậy cả bốn ý a), b), c), d) đều đúng, khớp với đáp án nguồn (Đ Đ Đ Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đều có AA' ⊥ (ABC) và AA' ⊂ (A'AB), nên (ABC) ⊥ (A'AB).
b) (AI giải đề cho tôi)
BB' ⊥ (ABC) nên góc giữa BB' và (ABC) bằng 90°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của B'C lên (ABC) là BC; tan∠B'CB = B'B/BC = 1 nên góc bằng 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Kẻ A'M ⊥ B'C' (M trung điểm B'C'), AM ⊥ B'C' với M ∈ B'C' (tam giác AB'C' cân). cos α = A'M/AM = (a√3/2)/((a√7)/2) = √(3/7) ⇒ tan α = 2/√3.