Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $BD\perp AC$ tức $BD\perp AO$.
a) Đúng: $BD\perp AO$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, suy ra $BD\perp A^{\prime }O$, tức $A^{\prime }O\perp BD$.
b) Sai: $A^{\prime }O$ không vuông góc $(ABCD)$; góc giữa $A^{\prime }O$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }OA}$ với $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AO}=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$, nên góc $\approx 54,7^{\circ }\ne 90^{\circ }$.
c) Đúng: như ý a), $BD\perp AO$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$, mà $BD$ nằm trong $(A^{\prime }BD)$, giao tuyến của $(A^{\prime }BD)$ và $(AO{A}^{\prime })$ là $A^{\prime }O$... thực chất $BD\perp (AO{A}^{\prime })$ nên $(A^{\prime }BD)\perp (AO{A}^{\prime })$.
d) Sai: góc giữa $(A^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $A^{\prime }O$ và $AO$ (hai đường vuông góc với giao tuyến $BD$), $\tan \alpha =\sqrt{2}\Rightarrow \alpha \approx 54,7^{\circ }\ne 57,4^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AO$ (tính chất đường chéo hình vuông) và $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, suy ra $A^{\prime }O\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\sqrt{2}$ nên góc giữa $A^{\prime }O$ và $(ABCD)$ bằng $\arctan \sqrt{2}\approx 54,7^{\circ }\ne 90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AO$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, do đó $(A^{\prime }BD)\perp (AO{A}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{A^{\prime }OA}$, $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$, $\alpha \approx 54,7^{\circ }\ne 57,4^{\circ }$.