Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }BD$ là tứ diện đều cạnh 3. $G$ là trọng tâm tam giác $D{D}^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính độ dài $AG$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }BD$ là tứ diện đều cạnh 3 nên $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AD},\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ có độ dài 3 và góc giữa mỗi cặp là $60^{\circ }$. Trong hình hộp: $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\vec{w}$, $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$, nên $D^{\prime }=D+\vec{w}$, $C^{\prime }=D+\vec{w}+\vec{u}$. Trọng tâm $G$ của tam giác $D{D}^{\prime }{C}^{\prime }$: $\overrightarrow{AG}=\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}+\frac{1}{3}\vec{u}$. Khi đó $A{G}^2=9+4+1+2\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{9}{2}+2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}+2\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{9}{2}=14+6+3+2=25$, suy ra $AG=5$.