Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a\sqrt{3}$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng $3a$. Thể tích khối chóp đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel AB$ nên $CD\parallel (SAB)$, do đó khoảng cách giữa $SA$ và $CD$ bằng khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Gọi $O$ là tâm đáy, $SO=h$ là chiều cao chóp. Đặt hệ tọa độ: $A(-a\sqrt{3},-a\sqrt{3},0)$, $B(a\sqrt{3},-a\sqrt{3},0)$, $C(a\sqrt{3},a\sqrt{3},0)$, $S(0,0,h)$.

Mặt phẳng $(SAB)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=(0,-2a\sqrt{3}h,6a^2)$, đi qua $A$, nên phương trình: $-2a\sqrt{3}h(y+a\sqrt{3})+6a^{2}z=0$.

Khoảng cách từ $C(a\sqrt{3},a\sqrt{3},0)$ đến $(SAB)$:
$$d=\frac{12a^{2}h}{\sqrt{12a^2{h}^2+36a^4}}=\frac{6ah}{\sqrt{3h^2+9a^2}}=3a.$$

Suy ra $2h=\sqrt{3h^2+9a^2}\Rightarrow 4h^2=3h^2+9a^2\Rightarrow h=3a$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot (2a\sqrt{3}{)}^2\cdot 3a=\frac{1}{3}\cdot 12a^2\cdot 3a=12a^3$.