Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $SA$ vuông góc với đáy, $SB$ hợp với đáy góc $45^o$. Tính $d(A,(SBC))$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên góc giữa $SB$ và đáy là góc $SBA=45^{\circ }$, suy ra $SA=AB\tan 45^{\circ }=a$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$, đường cao $AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ với $H\in BC$, mà $BC$ là giao tuyến của $(ABC)$ và $(SBC)$ nên $AH\perp (SBC)$... chính xác hơn: $SA\perp BC$ và $AH\perp BC$ suy ra $BC\perp (SAH)$. Gọi $K$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $SK$ trong mặt phẳng $(SAH)$, khi đó $AK\perp (SBC)$ và $AK=\frac{SA\cdot AH}{\sqrt{S{A}^2+A{H}^2}}=\frac{a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^2+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$. Vậy $d(A,(SBC))=\frac{a\sqrt{21}}{7}$.