Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=6cm$, $AD=3cm$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $AB$ và $\widehat{SCH}=45^{\circ }$. Khoảng cách từ $A$ đến $(SDC)$ là bao nhiêu $cm$ ? ( Làm tròn kết quả đến hàng phần chục ).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;3;0)$, $D(0;3;0)$, $H(3;0;0)$. Ta có $HC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$. Vì $\widehat{SCH}=45^{\circ }$ và $SH\perp (ABCD)$ nên $SH=HC\cdot \tan 45^{\circ }=3\sqrt{2}$, suy ra $S(3;0;3\sqrt{2})$ và $SC=\sqrt{S{H}^2+H{C}^2}=6$.

Thể tích khối chóp $S.ADC$: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ADC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{6\cdot 3}{2}\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$.

Khoảng cách từ $S$ đến đường thẳng $DC$ (với $DC\parallel AB$, $DC=6$): $d(S,DC)=\sqrt{S{H}^2+{\left(\frac{AD}{2}\cdot 2\right)}^2}$... chính xác là $d(S,DC)=\sqrt{3^2+(3\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ (do $H$ cách đường $DC$ một khoảng $AD=3$ theo phương ngang và $SH=3\sqrt{2}$ theo phương thẳng đứng).

Diện tích tam giác $SDC$: $S_{SDC}=\frac{1}{2}\cdot DC\cdot d(S,DC)=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SDC)$: $d(A,(SDC))=\frac{3V_{S.ADC}}{S_{SDC}}=\frac{27\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\approx 2,449\approx 2,4$ cm.

Kết quả khớp với đáp án nguồn $2,4$.