Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $3\sqrt{2}$, $SB$ vuông góc với $(ABCD)$, gọi $O=BD\cap CA$.

a) Chứng minh $AC\perp (SBD)$.

b) Tính góc giữa đường thẳng $SO$ và $(ABCD)$ biết $SA=\sqrt{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần IV):

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Ta có $AC\perp BD$, $AC\perp SB$, với $BD,SB\subset (SBD)$ và $BD\cap SB=B$, suy ra $AC\perp (SBD)$.

b) Đáy là hình vuông cạnh $3\sqrt{2}$ nên $AB=3\sqrt{2}$, $AO=\frac{AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=3$, $BO=3$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $B$ (vì $SB\perp (ABCD)$): $S{B}^2=S{A}^2-A{B}^2=21-18=3\Rightarrow SB=\sqrt{3}$.

Tam giác $SOB$ vuông tại $B$: $SO=\sqrt{S{B}^2+B{O}^2}=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}$.

Góc giữa $SO$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SOB}$ (do $SB\perp (ABCD)$):
$$\sin \widehat{SOB}=\frac{SB}{SO}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{SOB}=30^{\circ }.$$

Vậy góc giữa đường thẳng $SO$ và $(ABCD)$ bằng $30^{\circ }$.