Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng 26, cạnh đáy bằng 27. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

a) Chứng minh mặt phẳng $(SAC)\perp (ABCD)$.
b) Tính góc giữa mặt phẳng $SC$ và $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán: hình chóp đều $S.ABCD$, cạnh bên $SA=SB=SC=SD=26$, cạnh đáy $AB=27$, $O=AC\cap BD$.

a) Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$. Lại có $SO\subset (SAC)$, suy ra $(SAC)\perp (ABCD)$ (theo định lý về mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng khác).

b) Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $OC$ của nó trên $(ABCD)$, tức là góc $\phi =\widehat{SCO}$.

Tính toán: đáy là hình vuông cạnh 27 nên $AC=27\sqrt{2}$, do đó $OC=\frac{27\sqrt{2}}{2}$.

Trong tam giác $SOC$ vuông tại $O$:
$$SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{26^2-{\left(\frac{27\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{676-\frac{729}{2}}=\sqrt{\frac{623}{2}}=\frac{\sqrt{1246}}{2}\approx 17,66.$$

Suy ra
$$\tan \phi =\frac{SO}{OC}=\frac{\sqrt{1246}/2}{27\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{623}}{27}\approx 0,9245,$$
$$\phi =\arctan \frac{\sqrt{623}}{27}\approx 42,75^{\circ }\approx 42^{\circ }45^{\prime }.$$

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $\arctan \frac{\sqrt{623}}{27}\approx 42,75^{\circ }$.