Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SB\perp (ABC)$, $SB=AB=1$.

a) Chứng minh $AB\perp SC$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Tính góc giữa đường thẳng $SM$ và $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SB\perp (ABC)$ nên $SB\perp AB$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB\perp BC$. Do đó $AB\perp (SBC)$ (vì $AB$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SB,BC$ trong mặt phẳng $(SBC)$). Suy ra $AB\perp SC$ (vì $SC\subset (SBC)$).

b) Hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $B$ (vì $SB\perp (ABC)$), nên góc giữa đường thẳng $SM$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SMB}$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=BC=1$ nên $AC=\sqrt{2}$, do đó $MB=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Tam giác $SBM$ vuông tại $B$ (vì $SB\perp BM$):
$$\tan \widehat{SMB}=\frac{SB}{BM}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}.$$

Vậy góc giữa đường thẳng $SM$ và $(ABC)$ bằng $\arctan \sqrt{2}\approx 54^{\circ }44^{\prime }$.