Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, có độ dài cạnh đáy là $a$ và cạnh bên là $b$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Gọi $\alpha ,\beta$ lần lượt là góc giữa đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }AM)$. Chứng minh rằng $4{\cos }^2\alpha =3+{\cos }^2\beta$ và xác định mối quan hệ giữa $a,b$ để đường thẳng $A{B}^{\prime }$ vuông góc với đường thẳng $B{C}^{\prime }$.