Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tia $IH$ cắt $(O)$ tại $T$. Trên đường thẳng $EF$ lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{AHD}=90^{\circ }$.
1. Chứng minh rằng $\widehat{ATH}=90^{\circ }$ và đường thẳng $DT$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$.
2. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $EF$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIT$ ($M$ và $E$ khác phía đối với $F$). Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $AH$ với $(O)$ $(P\ne A)$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $MB$ với đường thẳng $TP$. Chứng minh rằng $K{C}^2=KP\cdot KT$.