Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $AB=1$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$. Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và $SAB$ đều cạnh 1 nên trung điểm $I$ của $AB$ có $SI\perp AB$, $S(\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Mặt phẳng $(SBD)$ đi qua $B(1;0;0)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{BS}=(-\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BS}=(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})$, chọn $\vec{n}=(\sqrt{3};\sqrt{3};1)$.
Phương trình: $\sqrt{3}(x-1)+\sqrt{3}y+z=0$, tức $\sqrt{3}x+\sqrt{3}y+z-\sqrt{3}=0$.

Khoảng cách từ $C(1;1;0)$:
$$d(C,(SBD))=\frac{|\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\approx \mathrm{0.6928.}$$

Vậy kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là $0.69$.