Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,AD=a\sqrt{2}$; $SA\perp (ABCD)$ và $SA=2a$.
a) Chứng minh: $CB\perp (SAB)$
b) Tính góc giữa $SC$ và $(SAB)$
c) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CB\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CB$. Mà $CB\perp AB$, $CB\perp SA$, với $AB,SA\subset (SAB)$ và cắt nhau tại $A$, suy ra $CB\perp (SAB)$.

b) Vì $CB\perp (SAB)$ nên $B$ là hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$, do đó góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là góc giữa $SC$ và $SB$, tức góc $\widehat{CSB}$.
Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$, nên $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{4a^2+3a^2}=a\sqrt{7}$.
Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $CB=AD=a\sqrt{2}$, nên $\sin \widehat{CSB}=\frac{CB}{SC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{2}{7}}$.
Vậy $\cos \widehat{CSB}=\sqrt{1-\frac{2}{7}}=\sqrt{\frac{5}{7}}=\frac{\sqrt{35}}{7}$, tức góc giữa $SC$ và $(SAB)$ có cosin bằng $\frac{\sqrt{35}}{7}$ (góc khoảng $32,3^{\circ }$).

c) Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a\sqrt{2};0)$, $C(a;a\sqrt{2};0)$, $S(0;0;2a)$. $I$ là trung điểm $CD$ nên $I\left(\frac{a}{2};a\sqrt{2};0\right)$.
$\overrightarrow{SB}=(a;0;-2a)$, $\overrightarrow{AI}=\left(\frac{a}{2};a\sqrt{2};0\right)$.
$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{AI}=\frac{a^2}{2}$; $|SB|=a\sqrt{5}$; $|AI|=a\sqrt{\frac{1}{4}+2}=\frac{3a}{2}$.
$\cos (SB,AI)=\frac{a^2/2}{a\sqrt{5}\cdot \frac{3a}{2}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{15}$.

Kiểm tra lại: các kết quả $\cos \widehat{CSB}=\frac{\sqrt{35}}{7}$ và $\cos (SB,AI)=\frac{\sqrt{5}}{15}$ đều đúng, khớp với phần giải nguồn (đã loại bỏ ghi chú meta thừa).