Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ biết rằng mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{\circ }$.

Chọn B.
Gọi $H$ là trung điểm của $AD$. Vì tam giác $SAD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SH\perp (ABCD)$ và $SH=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Kẻ $HK\perp BC$ tại $K$, vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $HK=AB$.
Ta có $BC\perp HK$ và $BC\perp SH\Rightarrow BC\perp (SHK)\Rightarrow \widehat{SKH}=60^{\circ }$ là góc giữa $(SBC)$ và đáy.
Trong tam giác vuông $SHK$ tại $H$:
$HK=\frac{SH}{\tan 60^{\circ }}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a\Rightarrow AB=a$.
Diện tích đáy $ABCD$ là $S_{ABCD}=AB\cdot AD=a\cdot 2a=2a^2$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}$.