Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z+2-i|=2\sqrt{2}$ và $(z-i{)}^2$ là số thuần ảo?

Chọn A.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
Ta có $|z+2-i|=2\sqrt{2}\iff (x+2{)}^2+(y-1{)}^2=8$.
Đây là phương trình đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Mặt khác, $z-i=x+(y-1)i$.
$(z-i{)}^2=x^2-(y-1{)}^2+2x(y-1)i$ là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng $0$:
$x^2-(y-1{)}^2=0\iff [<table><tbody><tr><td>y-1=x</td></tr><tr><td>y-1=-x</td></tr></tbody></table>$
- Trường hợp 1: $y-1=x$, thay vào phương trình đường tròn:
$(x+2{)}^2+x^2=8\iff 2x^2+4x-4=0\iff x^2+2x-2=0$, có ${\Delta }^{\prime }=1+2=3>0$, cho $2$ nghiệm phân biệt.
- Trường hợp 2: $y-1=-x$, thay vào phương trình đường tròn:
$(x+2{)}^2+(-x{)}^2=8\iff 2x^2+4x-4=0$, tương tự cho $2$ nghiệm phân biệt.
Các nghiệm của hai trường hợp này là phân biệt vì giao tuyến $x=0$ không thỏa mãn phương trình đường tròn ($(0+2{)}^2+0=4\ne 8$).
Vậy có tất cả $4$ số phức $z$ thỏa mãn.